Arcus sinus hyperbolicus

Kurvan y = arcsinh(x).

Arcus sinus hyperbolicus är inversen till den hyperboliska funktionen sinus hyperbolicus. Funktionen betecknas vanligen "arcsinh" (eller "arsinh", eller "sinh⁻¹"), och ett explicit uttryck för funktionsvärdet är

$\operatorname {arcsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}).$

Här anger suffixet "-h" att det är en hyperbolisk och inte en trigonometrisk funktion. Prefixet "arc-" antyder att det rör sig om en invers hyperbolisk funktion. Prefixet kommer från den motsvarande inversa trigonometriska funktionen arcsin, där "arc-" står för båglängd. I det hyperboliska fallet saknas emellertid tolkningen att $\operatorname {arcsin} \,x$ står för en båglängd. Däremot kan funktionsvärdet tolkas som en viss area; därför förespråkas ibland beteckningen "arsinh" (där "ar" står för "area") i stället för "arcsinh". Även beteckningen $\sinh ^{-1}$ förekommer; en upphöjd minusetta betecknar ju i allmänhet en funktionsinvers.

Explicit uttryck

För att ta fram ett explicit uttryck för $\operatorname {arcsinh} \,x$ börjar man med att välja något $y\in V_{\sinh }$ (där $V_{\sinh }$ är värdemängden till sinh). Det finns då ett $x\in D_{\sinh }$ (där $D_{\sinh }$ är definitionsmängden till sinh) sådant att

$y=\sinh {x}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

(där vi använde definitionen av sinus hyperbolicus). Med $t:=e^{x}$ fås

$y={\frac {t-t^{-1}}{2}}\Rightarrow 2y=t-t^{-1}\Rightarrow 2yt=t^{2}-1$

$\Rightarrow t^{2}-2yt-1=0\Rightarrow (t-y)^{2}-y^{2}-1=0$

$\Rightarrow (t-y)^{2}=y^{2}+1\Rightarrow t-y={\sqrt {y^{2}+1}}$

$\Rightarrow t=y+{\sqrt {y^{2}+1}}.$

Här använde vi att ${\sqrt {(t-y)^{2}}}=\left\vert t-y\right\vert =t-y$ ty

$t-y=e^{x}-\sinh {x}=\cosh {x}\geq 0$.

Med tanke på att $t=e^{x}$ har vi därför

$e^{x}=y+{\sqrt {y^{2}+1}}$

d.v.s.

$x=\ln(y+{\sqrt {y^{2}+1}})$.

Alltså är

$\operatorname {arcsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}).$

Derivata

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},\forall x\in \mathbb {R} .$

Bevis:

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsinh} \,x={\frac {d}{dx}}\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+{\frac {1}{2}}(x^{2}+1)^{-1/2}\cdot 2x)=$

$={\frac {1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}={\frac {\frac {{\sqrt {x^{2}+1}}+x}{\sqrt {x^{2}+1}}}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}.$

Integral

Den primitiva funktionen till arcsinh är

$\int _{}^{}\operatorname {arcsinh} \,xdx=x\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C.$

Bevis:

Partiell integration av en inskjuten etta ger

$\int _{}^{}\operatorname {arcsinh} \,xdx=\int _{}^{}\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})dx=x\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})-\int _{}^{}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx=$

$=x\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})-{\sqrt {x^{2}+1}}+C=x\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C.$

Referenser

• De hyperboliska funktionerna, Rejbrand, Andreas